Edukasi Matematika Polinomial

NILAI POLINOMIAL

Polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlah perkalianpangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Contoh polinomial :

f(x) = 4x³+3x²-5x+3

Contoh bukan polinomial:

f(x) = x⁵+x⁹-6x²+5x-9

Ada 2 cara untuk menyelesaikan nilai polinomial :

1. Teori horner
2. Teori substitusi

Contoh soal :

f(x) = x⁶-5x⁵+2x³+3x²-2

x= -1

Penyelesaian :

a. Teori horner

b. Teori substitusi

àMemasukan nilai -1 kepada f(x)

f(x) = x⁶-5x⁵+2x³+3x²-2

f(-1) = (-1)⁶-5(-1)⁵+2(-1)³+3(-1)²-2

f(-1) = 1+5-2+3-2

f(-1) = 5 à sisa

OPERASI ALGORITMA

Ada 3 macam operasi algoritma yaitu :

1. Penjumlahan

2. Pengurangan

3. Perkalian

Contoh soal :

Dik :

f(x) = 4x³+3x²-5x+3

g(x) = x²-5x-2

Dit :

a. f(x)+g(x)

jawab :

Menjumlahkan koefisien yang nilai pangkatnya sama.

(4x³+3x²-5x+3) + (x²-5x-2)

4x³+3x²+x²-5x-5x+3-2

4x³+4x²+1

b. f(x)-g(x)

jawab :

Cara pengerjaannya sama seperti penjumlahan.

(4x³+3x²-5x+3) - (x²-5x-2)

4x³+3x²-x²-5x+5x+3+2

4³x+2x²+5

c. f(x).g(x)

Jawab :

ALGORITMA PEMBAGIAN

Keterangan :

f(x) = Fungsi polinomial

p(x) = Pembagi polinomial    

h(x) = Hasil bagi polinomial

s(x) = Sisa bagi polinomial

Ada 2 cara untuk menyelesaikan soal ini, yaitu menggunakan cara bersusun dan teori horner.

Contoh soal :

x⁴-2x²+x-5 : x-2

penyelesaian :

a. Cara bersusun

b. Teori horner

TEOREMA SISA

Ada 3 macam teorema sisa yaitu :

1. Teorema Sisa 1

Jika suku banyak f(x) dibagi x-k, maka akan bersisa f(k) atau bisa ditulis  bersisa f(x).

Contoh soal :

2x³+5x²-15x+3 : x-2

Penyelesaian :

a. Teori horner 

Algoritma pembagian 2x²+9x+3

Pembuktian :

2x³+5x²-15x+3 = (x-2) (2x²+9x+3) +9

                            = 2x³+9x²+3x-4x²-18x-6+9

                            = 2x³+9x²-4x²+3x-18x-6+9

                            = 2x³+5x²-15x+3 (TERBUKTI)

b. Cara bersusun

2. Teorema sisa 2

Jika suku banyak f(x) dibagi a(x)-b, maka akan bersisaf(b/a) ditulis f(x)/a(x)-b.  

Contoh soal :

4x³-3x²+8x-4 : 2x-1

Penyelesaian :

a. Cara bersusun

b. Teori horner

Algoritma pembagian

4x³-3x²+8x-4 = (2x-1) (2x²-½x+ ) + (-¼)

                          = 4x³-x²+ x-2x²+½x- -¼

                            = 4x³-x²-2x²+ x+½x- -¼

                            = 4x³-3x²+8x-4 (TERBUKTI) 

3. Teorema sisa 3

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x-a) (x-b), maka sisanya adalah p(x)+q dimana

f(a) = p(a)+q dan f(b) = p(b)+q.

Contoh soal :

Memfaktorkan

x-3x+2

(x-2) (x-1)

a = 2

b = 1

f(x) = x-2x+x+1

f(a) = a-2(a)+a+1

f(2) = 2-2(2)+2+1

f(2) = 8-8+2+1

f(2) = 3

f(b) = b-2(b)+b+1

f(1) = 1-2(1)+1+1

f(1) = 1-2+1+1

f(1) = 1

Teorema sisa

f(a) = p(a)+q

f(2) = p(2)+q

f(2) = 2p+q

3 = 2p+q

2p+q =3........(1)

f(b) = p(b)+q

f(1) = p(1)+q

f(1) = p+q

1 = p+q

p+q = 1........(2)

Eliminasi

Substitusi

p+q = 1

2+q = 1

q = -1

Sisa pembagian

p(x)+q

2x-1

TEOREMA FAKTOR

Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai 0, maka itulah faktornya.

Contoh soal :

x³+x²-9x-9

Penyelesaian :

a. Teori horner

x³+x²-9x-9

x = 3

(x-3) (x²+4x+3)

x²+4x+3

HP {-3, -1, 3}